Matematikos PUPP formulės

Per matematikos PUPP galima naudotis atspausdintu formulių rinkiniu. Čia rasite visas jo formules pagal temas: ką reiškia kiekviena raidė, kada formulė naudojama, ir po vieną išspręstą pavyzdį. Gale – formulės, kurių rinkinyje nėra, bet kurias reikia mokėti.

Algebra

Greitoji daugyba

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

(a-b)(a+b)=a^2-b^2

Sumos ir skirtumo kvadratas bei kvadratų skirtumas. Jos padeda greitai atskliausti reiškinius, o perskaitytos iš dešinės į kairę – išskaidyti juos dauginamaisiais ir suprastinti trupmenas.

Pavyzdys

Atskliauskite $(x+3)^2$ ir apskaičiuokite $99\cdot 101$ be skaičiuotuvo.

$(x+3)^2=x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2=x^2+6x+9$ . Antrame skaičiavime $99\cdot 101=(100-1)(100+1)=100^2-1^2=9999$ .

Laipsniai ir šaknys

a^{-n}=\frac{1}{a^n}\quad(a\neq 0)

a^n\cdot a^m=a^{n+m}

a^n:a^m=a^{n-m}

(a^n)^m=a^{n\cdot m}

a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n

a^n:b^n=(a:b)^n

\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}

\sqrt{a}:\sqrt{b}=\sqrt{a:b}

\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{a\cdot b}

\sqrt[3]{a}:\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{a:b}

Kai pagrindai vienodi, dauginant laipsnių rodikliai sudedami, dalijant – atimami, o keliant laipsnį laipsniu – dauginami. Kai vienodi rodikliai, galima sudauginti ar padalyti pagrindus. Tas pats galioja kvadratinėms ir kubinėms šaknims. Neigiamas rodiklis reiškia atvirkštinį skaičių.

Pavyzdys

Apskaičiuokite $2^{-3}$ , $2^5\cdot 2^3$ ir $\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}$ .

$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$ ; $2^5\cdot 2^3=2^{5+3}=2^8=256$ ; $\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$ .

Sudėtiniai procentai

S_n=S_0\left(1\pm\frac{p}{100}\right)^n

$S_0$ – pradinė dydžio reikšmė, $p$ – kiek procentų jis pasikeičia kiekvieną kartą, $n$ – kiek kartų tai pasikartoja, $S_n$ – galutinė reikšmė. Pliusas rašomas, kai dydis didėja (indėlis, kainos kilimas), minusas – kai mažėja (nuolaida, nuvertėjimas).

Pavyzdys

Į indėlį padėta 1000 €, kasmet pridedama 5 % palūkanų. Kiek bus po 3 metų?

$S_3=1000\cdot\left(1+\frac{5}{100}\right)^3=1000\cdot 1{,}05^3=1157{,}625\approx 1157{,}63$ €.

Kvadratinė lygtis

ax^2+bx+c=0\quad(a\neq 0)

x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a},\qquad x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}

D=b^2-4ac

$D$ – diskriminantas. Kai $D>0$ , lygtis turi du sprendinius, kai $D=0$ – vieną (abu sutampa), o kai $D<0$ – realiųjų sprendinių neturi. Svarbiausia teisingai nurašyti koeficientus kartu su jų ženklais.

Pavyzdys

Išspręskite lygtį $x^2-5x+6=0$ .

Čia $a=1$ , $b=-5$ , $c=6$ . $D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=1$ . Tada $x_1=\frac{5-1}{2}=2$ , $x_2=\frac{5+1}{2}=3$ .

Kvadratinio trinario skaidymas dauginamaisiais

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

Čia $a\neq 0$ , o $x_1$ ir $x_2$ – lygties $ax^2+bx+c=0$ sprendiniai. Pirmiausia išsprendžiama lygtis, tada sprendiniai įrašomi į formulę. Nepamirškite daugiklio $a$ priekyje.

Pavyzdys

Išskaidykite dauginamaisiais $2x^2-2x-12$ .

Lygties $2x^2-2x-12=0$ sprendiniai: $D=4+96=100$ , $x_1=\frac{2-10}{4}=-2$ , $x_2=\frac{2+10}{4}=3$ . Todėl $2x^2-2x-12=2(x+2)(x-3)$ .

Funkcijos

Tiesė per du taškus

y=kx+b

k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\quad(x_1\neq x_2)

Tiesė eina per taškus $(x_1;\,y_1)$ ir $(x_2;\,y_2)$ . $k$ – krypties koeficientas: kiek pasikeičia $y$ , kai $x$ padidėja vienetu. Radus $k$ , $b$ gaunamas į lygtį įrašius bet kurio taško koordinates.

Pavyzdys

Parašykite tiesės, einančios per taškus $(1;\,2)$ ir $(3;\,8)$ , lygtį.

$k=\frac{8-2}{3-1}=3$ . Įrašę tašką $(1;\,2)$ : $2=3\cdot 1+b$ , todėl $b=-1$ . Lygtis: $y=3x-1$ .

Parabolės viršūnė

y=ax^2+bx+c\quad(a\neq 0)

x_{\text{virš.}}=-\frac{b}{2a}

Formulė duoda viršūnės abscisę (x koordinatę). Ordinatė gaunama $x_{\text{virš.}}$ įrašius į funkcijos lygtį. Kai $a>0$ , viršūnėje funkcija įgyja mažiausią reikšmę, kai $a<0$ – didžiausią.

Pavyzdys

Raskite parabolės $y=x^2-4x+1$ viršūnės koordinates.

$x_{\text{virš.}}=-\frac{-4}{2\cdot 1}=2$ , $y=2^2-4\cdot 2+1=-3$ . Viršūnė – taškas $(2;\,-3)$ .

Trigonometrija

Pagrindinė tapatybė ir tangentas

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1

\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

Dažnų kampų reikšmės
$\alpha$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$	$120^\circ$	$135^\circ$	$150^\circ$
$\sin\alpha$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\cos\alpha$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\operatorname{tg}\alpha$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$\text{–}$	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\operatorname{tg}90^\circ$ neapibrėžtas.

Žinant vieną kampo trigonometrinę reikšmę, galima rasti kitas. Smailiojo kampo sinusas ir kosinusas teigiami, o bukojo kampo kosinusas ir tangentas – neigiami. Dažnai pasitaikančių kampų reikšmės – lentelėje žemiau.

Pavyzdys

Kampas $\alpha$ smailusis ir $\sin\alpha=\frac{3}{5}$ . Raskite $\cos\alpha$ ir $\operatorname{tg}\alpha$ .

$\cos^2\alpha=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$ , o kampas smailusis, todėl $\cos\alpha=\frac{4}{5}$ . Tada $\operatorname{tg}\alpha=\frac{3}{5}:\frac{4}{5}=\frac{3}{4}$ .

Geometrija

Sinusų teorema ir jos išvada

\frac{a}{\sin\angle A}=\frac{b}{\sin\angle B}=\frac{c}{\sin\angle C}=2R

$a$ , $b$ , $c$ – trikampio kraštinės, $\angle A$ , $\angle B$ , $\angle C$ – prieš jas esantys kampai, $R$ – apie trikampį apibrėžto apskritimo spindulys. Naudojama, kai žinomi du kampai ir kraštinė arba dvi kraštinės ir kampas prieš vieną iš jų.

Pavyzdys

Trikampyje $a=10$ , $\angle A=30^\circ$ , $\angle B=45^\circ$ . Raskite $b$ ir $R$ .

$b=\frac{a\cdot\sin\angle B}{\sin\angle A}=\frac{10\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=10\sqrt{2}\approx 14{,}14$ . $2R=\frac{10}{\frac{1}{2}}=20$ , todėl $R=10$ .

Kosinusų teorema

a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos\angle A

$\angle A$ – kampas tarp kraštinių $b$ ir $c$ , o $a$ – prieš jį esanti kraštinė. Naudojama, kai žinomos dvi kraštinės ir kampas tarp jų (randama trečioji kraštinė) arba visos trys kraštinės (randamas kampas).

Pavyzdys

Trikampyje $b=5$ , $c=8$ , o kampas tarp jų $\angle A=60^\circ$ . Raskite $a$ .

$a^2=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot\frac{1}{2}=49$ , todėl $a=7$ .

Trikampio plotas

S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}ab\cdot\sin\angle C

S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

S=rp=\frac{abc}{4R}

p=\frac{a+b+c}{2}

$h_a$ – aukštinė, nuleista į kraštinę $a$ ; $\angle C$ – kampas tarp kraštinių $a$ ir $b$ ; $p$ – pusperimetris; $r$ – įbrėžto, $R$ – apibrėžto apskritimo spindulys. Formulė renkama pagal tai, kas žinoma: aukštinė, dvi kraštinės ir kampas tarp jų ar visos trys kraštinės (Herono formulė).

Pavyzdys

Trikampio kraštinės 13, 14 ir 15. Raskite jo plotą ir įbrėžto apskritimo spindulį.

$p=\frac{13+14+15}{2}=21$ , $S=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7056}=84$ . Iš $S=rp$ : $r=\frac{84}{21}=4$ .

Daugiakampio kampų suma

180^\circ\cdot(n-2)

$n$ – daugiakampio kampų (ir kraštinių) skaičius. Taisyklingojo daugiakampio visi kampai lygūs, todėl vienas kampas – ši suma, padalyta iš $n$ .

Pavyzdys

Kokia šešiakampio kampų suma ir koks taisyklingojo šešiakampio kampas?

$180^\circ\cdot(6-2)=720^\circ$ ; taisyklingojo šešiakampio kampas $720^\circ:6=120^\circ$ .

Skritulio išpjovos lanko ilgis ir plotas

C_{\text{išpj.}}=\frac{2\pi R}{360}\cdot\alpha

S_{\text{išpj.}}=\frac{\pi R^2}{360}\cdot\alpha

$R$ – skritulio spindulys, $\alpha$ – išpjovos kampas laipsniais. Išpjova yra $\frac{\alpha}{360}$ viso skritulio, todėl lanko ilgis ir plotas yra tokia pati viso apskritimo ilgio ir skritulio ploto dalis.

Pavyzdys

Skritulio spindulys 6 cm, išpjovos kampas $60^\circ$ . Raskite lanko ilgį ir išpjovos plotą.

$C=\frac{2\pi\cdot 6}{360}\cdot 60=2\pi\approx 6{,}28$ cm, $S=\frac{\pi\cdot 36}{360}\cdot 60=6\pi\approx 18{,}85$ cm².

Ko rinkinyje nėra

Toliau išvardytų formulių PUPP rinkinyje nėra, bet sprendžiant 9–10 klasių uždavinius jų prireikia nuolat – jas verta mokėti mintinai.

Pitagoro teorema. Stačiajame trikampyje $c^2=a^2+b^2$ , kur $c$ – įžambinė.
Stačiojo trikampio smailiojo kampo santykiai. $\sin\alpha$ – prieš kampą esančio statinio ir įžambinės santykis, $\cos\alpha$ – prie kampo esančio statinio ir įžambinės, $\operatorname{tg}\alpha$ – priešinio ir prie kampo esančio statinio.
Apskritimo ilgis ir skritulio plotas. $C=2\pi R$ , $S=\pi R^2$ .
Keturkampių plotai. Stačiakampio $S=ab$ , lygiagretainio $S=ah_a$ , rombo $S=\frac{d_1d_2}{2}$ , trapecijos $S=\frac{a+b}{2}\cdot h$ .

Kaip naudotis rinkiniu

Rinkinys padeda tik tam, kas jį gerai pažįsta. Spręskite namų darbus ir kontrolinių užduotis su tuo pačiu lapu visus metus: patikrinimo dieną nereikės ieškoti, kur kokia formulė, ir liks daugiau laiko pačiam sprendimui. Formulė pasako, ką skaičiuoti, tik kai žinote, kuri tinka – todėl prie kiekvienos verta išspręsti bent kelis skirtingus uždavinius.

Per VBE 11–12 klasėje rinkinys bus kitas ir skirsis pagal kursą – jį rasite puslapyje VBE formulynas.

Šaltinis

Formulės pateiktos taip, kaip jas skelbia Nacionalinė švietimo agentūra (NŠA) „Matematikos pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo užduoties aprašo“ priede. Aprašas patvirtintas NŠA direktoriaus 2024 m. gruodžio 11 d. įsakymu Nr. VK-1018; čia naudojama 2025 m. gruodžio 10 d. įsakymo Nr. VK-1210 redakcija. Paaiškinimai ir pavyzdžiai – Mokli.

Patikrinime naudojamas NŠA išspausdintas rinkinys. Jei NŠA jį pakeis (paskutinį kartą tikrinta 2026 m. spalio 14 d.), galioja NŠA dokumentas, o ne šis puslapis.