Matematikos VBE formulės

Q: Ar per matematikos VBE galima naudotis formulynu?

Taip. Per abi VBE dalis galima naudotis NŠA formulių rinkiniu (formulynu) ir skaičiuotuvu, o per elektroninę I dalį – dar ir lapu užrašams. Rinkinys yra NŠA patvirtinto egzamino užduočių aprašo priedas, todėl savo formulyno atsinešti nereikia. Kokį skaičiuotuvą galima naudoti, nurodo egzamino vykdymo instrukcijos.

Q: Kuo skiriasi A ir B kurso formulynas?

B formulyne yra ir pagrindinės formulės: greitoji daugyba, laipsnių ir šaknų savybės, pagrindinė trigonometrinė tapatybė, sudėtiniai procentai, skritulio išpjova. A formulynas jų nekartoja, bet turi sudėtingesnių temų formules: sumos ir dvigubo kampo trigonometriją, vektorius, nupjautinius kūnus, išvestinių taisykles, integralus, kombinatoriką ir tikimybes. Ruoškitės su savo kurso formulynu.

Q: Ar VBE formulyne yra kvadratinės lygties sprendinių formulė?

Ne – nei A, nei B rinkinyje jos nėra, kaip ir Pitagoro teoremos, apskritimo ilgio, skritulio ar keturkampių plotų formulių. Jas reikia mokėti mintinai. Visą sąrašą rasite kiekvieno kurso skiltyje „Ko rinkinyje nėra“.

Q: Kur atsisiųsti oficialų VBE formulyną?

Abu rinkinius PDF formatu skelbia Nacionalinė švietimo agentūra (NŠA). Šiame puslapyje formulės tos pačios, tik sugrupuotos pagal temas, su paaiškinimais ir išspręstais pavyzdžiais. Spręsdami namų darbus naudokite atspausdintą NŠA rinkinį – egzamine bus būtent jis.

Q: Ar 2027 m. VBE formulynas bus toks pat?

Nebūtinai. 2026 m. rugpjūčio 26 d. matematikos programa pakoreguota (pavyzdžiui, B kurse nebeliko tangento temų), todėl NŠA rinkinius gali atnaujinti. Puslapį sutikriname su naujausiais NŠA rinkiniais – paskutinį kartą 2026 m. spalio 23 d..

Nacionalinė švietimo agentūra (NŠA) skelbia du matematikos VBE formulių rinkinius – mokiniai juos vadina VBE formulynu – A ir B kursui, ir jie gerokai skiriasi. Pasirinkite savo kursą: rasite visas jo formules pagal temas, ką reiškia kiekviena raidė, po vieną išspręstą pavyzdį ir formules, kurių rinkinyje nėra.

Algebra

Greitoji daugyba

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

(a-b)(a+b)=a^2-b^2

Formulės padeda greitai atskliausti reiškinius, o perskaitytos iš dešinės į kairę – išskaidyti juos dauginamaisiais ir suprastinti trupmenas.

Pavyzdys

Apskaičiuokite $101^2$ be skaičiuotuvo ir suprastinkite $(x-2)(x+2)$ .

$101^2=(100+1)^2=10000+200+1=10201$ ; $(x-2)(x+2)=x^2-4$ .

Laipsniai

a^{-n}=\frac{1}{a^n}\quad(a\neq 0)

a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}

(a>0,\ n\in\mathbb{N},\ m\in\mathbb{Z},\ n>1)

a^n\cdot a^m=a^{n+m}

a^n:a^m=a^{n-m}

(a^n)^m=a^{n\cdot m}

a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n

a^n:b^n=(a:b)^n

Kai pagrindai vienodi, dauginant laipsnių rodikliai sudedami, dalijant – atimami, o keliant laipsnį laipsniu – dauginami. Laipsnis su trupmeniniu rodikliu – tai šaknis: vardiklis rodo šaknies laipsnį, skaitiklis – pakėlimo laipsnį.

Pavyzdys

Apskaičiuokite $8^{\frac{2}{3}}$ ir $5^{-2}$ .

$8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4$ ; $5^{-2}=\frac{1}{25}$ .

Šaknys

\left(\sqrt[n]{a}\right)^n=a

\text{jei }\sqrt[n]{a}=b,\text{ tai }b^n=a

(n\in\mathbb{N},\ n>1)

\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}

\sqrt[n]{a}:\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a:b}

\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}

\left(\sqrt[n]{a}\right)^k=\sqrt[n]{a^k}

Šaknis atvirkštinė kėlimui laipsniu. Vienodo laipsnio šaknis galima sudauginti ir padalyti po vienu šaknies ženklu, o šaknį iš šaknies – pakeisti viena šaknimi, kurios laipsnis yra jų sandauga.

Pavyzdys

Apskaičiuokite $\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}$ ir $\sqrt[3]{\sqrt{64}}$ .

$\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{36}=6$ ; $\sqrt[3]{\sqrt{64}}=\sqrt[6]{64}=2$ , nes $2^6=64$ .

Logaritmai

a^{\log_a b}=b

\text{jei }\log_a b=c,\text{ tai }a^c=b

(a>0,\ a\neq 1,\ b>0)

\log_a b+\log_a c=\log_a(bc)

\log_a b-\log_a c=\log_a\left(\frac{b}{c}\right)

k\log_a b=\log_a\left(b^k\right)

$\log_a b$ – laipsnio rodiklis, kuriuo reikia pakelti $a$ , kad gautume $b$ . Sandaugos logaritmas lygus logaritmų sumai, dalmens – skirtumui, o laipsnio rodiklis „nusileidžia“ prieš logaritmą.

Pavyzdys

Apskaičiuokite $\log_2 8+\log_2 4$ ir $2^{\log_2 7}$ .

$\log_2 8+\log_2 4=\log_2 32=5$ ; $2^{\log_2 7}=7$ .

Trigonometrija

Trigonometrinės formulės

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1

\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

1+\operatorname{tg}^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}

Dažnų kampų reikšmės
$\alpha$	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$
$\sin\alpha$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos\alpha$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\operatorname{tg}\alpha$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$\text{–}$

$\operatorname{tg}90^\circ$ neapibrėžtas.

Žinant vieną kampo trigonometrinę reikšmę, galima rasti kitas. Smailiojo kampo sinusas, kosinusas ir tangentas teigiami.

Pavyzdys

Kampas $\alpha$ smailusis ir $\operatorname{tg}\alpha=2$ . Raskite $\cos\alpha$ .

$\frac{1}{\cos^2\alpha}=1+2^2=5$ , todėl $\cos^2\alpha=\frac{1}{5}$ . Kampas smailusis, tad $\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

Paprasčiausios trigonometrinės lygtys

\text{jei }\sin x=a,\ a\in[-1;1],\text{ tai}

x=(-1)^k\arcsin a+180^\circ\cdot k

\text{jei }\cos x=a,\ a\in[-1;1],\text{ tai}

x=\pm\arccos a+360^\circ\cdot k

\text{jei }\operatorname{tg}x=a,\ a\in\mathbb{R},\text{ tai}

x=\operatorname{arctg}a+180^\circ\cdot k

k\in\mathbb{Z}

$k$ – bet kuris sveikasis skaičius: kiekvienam $k$ gaunamas vis kitas sprendinys, nes funkcijos periodinės. B rinkinyje kampai rašomi laipsniais. Sinuso ir kosinuso lygtys turi sprendinių tik tada, kai $a$ yra tarp $-1$ ir $1$ .

Pavyzdys

Išspręskite lygtį $\sin x=\frac{1}{2}$ .

$\arcsin\frac{1}{2}=30^\circ$ , todėl $x=(-1)^k\cdot 30^\circ+180^\circ\cdot k$ , $k\in\mathbb{Z}$ .

Progresijos ir procentai

Aritmetinė progresija

a_n=a_1+d(n-1)

d=a_{n+1}-a_n

S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n

$a_1$ – pirmasis narys, $a_n$ – $n$ -tasis narys, $d$ – skirtumas (kiek kiekvienas narys didesnis už ankstesnį), $S_n$ – pirmųjų $n$ narių suma. Antroji sumos formulė patogi, kai paskutinis narys nežinomas.

Pavyzdys

Aritmetinės progresijos $a_1=3$ , $d=4$ . Raskite $a_{10}$ ir $S_{10}$ .

$a_{10}=3+4\cdot 9=39$ ; $S_{10}=\frac{3+39}{2}\cdot 10=210$ .

Geometrinė progresija

b_n=b_1q^{n-1}

q=\frac{b_{n+1}}{b_n}

S_n=\frac{b_1-qb_n}{1-q}=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}

$b_1$ – pirmasis narys ( $b_1\neq 0$ ), $b_n$ – $n$ -tasis narys, $q$ – vardiklis ( $q\neq 0$ ): iš jo dauginamas kiekvienas narys. $S_n$ – pirmųjų $n$ narių suma.

Pavyzdys

Geometrinės progresijos $b_1=2$ , $q=3$ . Raskite $b_5$ ir $S_5$ .

$b_5=2\cdot 3^4=162$ ; $S_5=\frac{2(1-3^5)}{1-3}=\frac{2\cdot(-242)}{-2}=242$ .

Sudėtiniai procentai

S_n=S_0\left(1\pm\frac{p}{100}\right)^n

$S_0$ – pradinė dydžio reikšmė, $p$ – kiek procentų jis pasikeičia kiekvieną kartą, $n$ – kiek kartų tai pasikartoja. Pliusas rašomas, kai dydis didėja, minusas – kai mažėja.

Pavyzdys

Prekė kainavo 200 €, jos kaina du kartus sumažinta po 10 %. Kiek ji kainuoja dabar?

$S_2=200\cdot\left(1-\frac{10}{100}\right)^2=200\cdot 0{,}81=162$ €.

Plokštumos geometrija

Trikampis

a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos\angle A

\frac{a}{\sin\angle A}=\frac{b}{\sin\angle B}=\frac{c}{\sin\angle C}=2R

S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}ab\cdot\sin\angle C

S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

S=rp=\frac{abc}{4R},\qquad p=\frac{a+b+c}{2}

$a$ , $b$ , $c$ – kraštinės, $\angle A$ , $\angle B$ , $\angle C$ – prieš jas esantys kampai, $h_a$ – aukštinė į kraštinę $a$ , $p$ – pusperimetris, $r$ – įbrėžto, $R$ – apibrėžto apskritimo spindulys. Kosinusų teorema tinka, kai žinomos dvi kraštinės ir kampas tarp jų, sinusų – kai žinomi du kampai ir kraštinė.

Pavyzdys

Trikampio kraštinės 5, 5 ir 6. Raskite jo plotą ir apibrėžto apskritimo spindulį.

$p=8$ , $S=\sqrt{8\cdot 3\cdot 3\cdot 2}=\sqrt{144}=12$ . Iš $S=\frac{abc}{4R}$ : $R=\frac{5\cdot 5\cdot 6}{4\cdot 12}=3{,}125$ .

Skritulio išpjova

S_{\text{išpj.}}=\frac{\pi R^2}{360}\cdot\alpha

C_{\text{išpj.}}=\frac{2\pi R}{360}\cdot\alpha

$R$ – spindulys, $\alpha$ – išpjovos kampas laipsniais. Išpjova yra $\frac{\alpha}{360}$ viso skritulio, todėl jos plotas ir lanko ilgis yra tokia pati skritulio ploto ir apskritimo ilgio dalis.

Pavyzdys

Skritulio spindulys 10, išpjovos kampas $36^\circ$ . Raskite išpjovos plotą ir lanko ilgį.

$S=\frac{\pi\cdot 100}{360}\cdot 36=10\pi\approx 31{,}42$ ; $C=\frac{2\pi\cdot 10}{360}\cdot 36=2\pi\approx 6{,}28$ .

Erdvės geometrija

Ritinys

S=2\pi RH

V=\pi R^2H

$R$ – pagrindo spindulys, $H$ – aukštinė. Šoninis paviršius išklotas yra stačiakampis, kurio kraštinės – pagrindo apskritimo ilgis ir aukštinė.

Pavyzdys

Ritinio $R=3$ , $H=5$ . Raskite šoninio paviršiaus plotą ir tūrį.

$S=2\pi\cdot 3\cdot 5=30\pi$ ; $V=\pi\cdot 9\cdot 5=45\pi$ .

Kūgis

S=\pi Rl

V=\frac{1}{3}\pi R^2H

$R$ – pagrindo spindulys, $l$ – sudaromoji, $H$ – aukštinė. Jos susijusios Pitagoro teorema: $l^2=R^2+H^2$ .

Pavyzdys

Kūgio $R=3$ , $H=4$ . Raskite šoninio paviršiaus plotą ir tūrį.

$l=\sqrt{9+16}=5$ ; $S=\pi\cdot 3\cdot 5=15\pi$ ; $V=\frac{1}{3}\pi\cdot 9\cdot 4=12\pi$ .

Rutulys

S=4\pi R^2

V=\frac{4}{3}\pi R^3

$R$ – rutulio spindulys.

Pavyzdys

Rutulio spindulys 3. Raskite paviršiaus plotą ir tūrį.

$S=4\pi\cdot 9=36\pi$ ; $V=\frac{4}{3}\pi\cdot 27=36\pi$ .

Piramidės tūris

V=\frac{1}{3}SH

$S$ – pagrindo plotas, $H$ – aukštinė. Ta pati formulė tinka bet kokiai piramidei, nesvarbu, koks jos pagrindas.

Pavyzdys

Taisyklingosios keturkampės piramidės pagrindo kraštinė 6, aukštinė 4. Raskite tūrį.

$V=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 4=48$ .

Analizė

Išvestinės

\left(c\,f(x)\right)'=c\,f'(x)

\left(f(x)+g(x)\right)'=f'(x)+g'(x)

\left(f(x)-g(x)\right)'=f'(x)-g'(x)

(x^n)'=n\,x^{n-1}

Konstantą galima iškelti prieš išvestinę, o sumos ir skirtumo išvestinė lygi išvestinių sumai ir skirtumui. Laipsninės funkcijos išvestinė: rodiklis nusileidžia prieš $x$ , o pats rodiklis sumažėja vienetu.

Pavyzdys

Raskite funkcijos $f(x)=3x^4-2x+5$ išvestinę.

$f'(x)=3\cdot 4x^3-2=12x^3-2$ .

Liestinės lygtis

y=f'(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0)

Nuo 2026–2027 m. m. B kurso programoje liestinių temos nebeliko, todėl naujame B rinkinyje šios formulės gali nebūti.

Liestinė liečia funkcijos $y=f(x)$ grafiką taške $(x_0;\,f(x_0))$ , o $f'(x_0)$ – jos krypties koeficientas. Reikia trijų dalykų: $x_0$ , funkcijos reikšmės ir išvestinės reikšmės tame taške.

Pavyzdys

Parašykite funkcijos $f(x)=x^2$ grafiko liestinės taške $x_0=1$ lygtį.

$f(1)=1$ , $f'(x)=2x$ , $f'(1)=2$ . Liestinė: $y=2(x-1)+1=2x-1$ .

Ko B rinkinyje nėra

Šių formulių B kurso rinkinyje nėra, bet egzamino uždaviniuose jų prireikia – jas reikia mokėti mintinai.

Kvadratinė lygtis. $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ , $D=b^2-4ac$ ; Vieto teorema $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ , $x_1x_2=\frac{c}{a}$ .
Pitagoro teorema. Stačiajame trikampyje $c^2=a^2+b^2$ , kur $c$ – įžambinė.
Stačiojo trikampio smailiojo kampo santykiai. $\sin\alpha$ – priešinio statinio ir įžambinės santykis, $\cos\alpha$ – prie kampo esančio statinio ir įžambinės, $\operatorname{tg}\alpha$ – priešinio ir prie kampo esančio statinio.
Apskritimo ilgis ir skritulio plotas. $C=2\pi R$ , $S=\pi R^2$ .
Keturkampių plotai. Stačiakampio $S=ab$ , lygiagretainio $S=ah_a$ , rombo $S=\frac{d_1d_2}{2}$ , trapecijos $S=\frac{a+b}{2}\cdot h$ .
Prizmės tūris. $V=SH$ , kur $S$ – pagrindo plotas, $H$ – aukštinė.

Algebra

Greitoji daugyba

(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3

(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)=a^3\pm b^3

Sumos ir skirtumo kubas bei kubų suma ir skirtumas. Viršutinis ženklas skaitomas su viršutiniu, apatinis – su apatiniu. Sumos ir skirtumo kvadrato bei kvadratų skirtumo A rinkinyje nėra – juos reikia mokėti mintinai.

Pavyzdys

Atskliauskite $(x+1)^3$ ir išskaidykite dauginamaisiais $x^3-8$ .

$(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1$ ; $x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)$ .

Logaritmai

a^{\log_a b}=b

\log_a b+\log_a c=\log_a(bc)

\log_a b-\log_a c=\log_a\left(\frac{b}{c}\right)

k\log_a b=\log_a\left(b^k\right)

\frac{1}{k}\log_a b=\log_{a^k} b

\frac{\log_c b}{\log_c a}=\log_a b

$\log_a b$ – laipsnio rodiklis, kuriuo reikia pakelti $a$ , kad gautume $b$ ( $a>0$ , $a\neq 1$ , $b>0$ ). Paskutinės dvi formulės leidžia pereiti prie kito pagrindo – tai dažniausias būdas suvienodinti logaritmus lygtyje.

Pavyzdys

Apskaičiuokite $\log_4 8$ .

Pereiname prie pagrindo 2: $\log_4 8=\frac{\log_2 8}{\log_2 4}=\frac{3}{2}$ . Tą patį duoda ir $\log_{2^2}8=\frac{1}{2}\log_2 8=\frac{3}{2}$ .

Trigonometrija

Trigonometrinės formulės

\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cdot\cos\alpha

\cos(2\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha

\operatorname{tg}(2\alpha)=\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}^2\alpha}

\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cdot\cos\beta\pm\cos\alpha\cdot\sin\beta

\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cdot\cos\beta\mp\sin\alpha\cdot\sin\beta

\operatorname{tg}(\alpha\pm\beta)=\frac{\operatorname{tg}\alpha\pm\operatorname{tg}\beta}{1\mp\operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{tg}\beta}

Dažnų kampų reikšmės
$\alpha$	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$
$\alpha$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\sin\alpha$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos\alpha$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\operatorname{tg}\alpha$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$\text{–}$

$\operatorname{tg}90^\circ$ neapibrėžtas.

Dvigubo kampo ir sumos bei skirtumo formulės. Viršutinis ženklas skaitomas su viršutiniu, apatinis – su apatiniu. Pagrindinės tapatybės $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ ir $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ A rinkinyje nėra – jas reikia mokėti mintinai.

Pavyzdys

Apskaičiuokite $\sin 75^\circ$ .

$\sin 75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ .

Paprasčiausios trigonometrinės lygtys

\text{jei }\sin x=a,\ a\in[-1;1],\text{ tai}

x=(-1)^k\arcsin a+\pi k

\text{jei }\cos x=a,\ a\in[-1;1],\text{ tai}

x=\pm\arccos a+2\pi k

\text{jei }\operatorname{tg}x=a,\ a\in\mathbb{R},\text{ tai}

x=\operatorname{arctg}a+\pi k

k\in\mathbb{Z}

$k$ – bet kuris sveikasis skaičius: kiekvienam $k$ gaunamas vis kitas sprendinys, nes funkcijos periodinės. A rinkinyje kampai rašomi radianais. Sinuso ir kosinuso lygtys turi sprendinių tik tada, kai $a$ yra tarp $-1$ ir $1$ .

Pavyzdys

Išspręskite lygtį $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi}{4}$ , todėl $x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k$ , $k\in\mathbb{Z}$ .

Progresijos ir procentai

Aritmetinė progresija

a_n=a_1+d(n-1)

d=a_{n+1}-a_n

S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n

Pavyzdys

Aritmetinės progresijos $a_1=3$ , $d=4$ . Raskite $a_{10}$ ir $S_{10}$ .

$a_{10}=3+4\cdot 9=39$ ; $S_{10}=\frac{3+39}{2}\cdot 10=210$ .

Geometrinė progresija

b_n=b_1q^{n-1}

q=\frac{b_{n+1}}{b_n}

S_n=\frac{b_1-qb_n}{1-q}=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}

S=\frac{b_1}{1-q}

$b_n$ – $n$ -tasis narys, $q$ – vardiklis ( $q\neq 0$ ): iš jo dauginamas kiekvienas narys. $S_n$ – pirmųjų $n$ narių suma, $S$ – nykstamosios progresijos (kai $|q|<1$ ) visų narių suma.

Pavyzdys

Raskite sumą $8+4+2+1+\dots$

Tai nykstamoji progresija: $b_1=8$ , $q=\frac{1}{2}$ . $S=\frac{8}{1-\frac{1}{2}}=16$ .

Plokštumos geometrija

Vektoriai

|\vec a|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}

\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2=|\vec a|\cdot|\vec b|\cos\alpha

$\vec a=(x_1;\,y_1)$ ir $\vec b=(x_2;\,y_2)$ – vektorių koordinatės, $\alpha$ – kampas tarp vektorių. Kai skaliarinė sandauga lygi nuliui, vektoriai statmeni.

Pavyzdys

Duoti vektoriai $\vec a=(3;\,4)$ ir $\vec b=(4;\,-3)$ . Raskite $|\vec a|$ ir kampą tarp vektorių.

$|\vec a|=\sqrt{9+16}=5$ ; $\vec a\cdot\vec b=3\cdot 4+4\cdot(-3)=0$ , todėl vektoriai statmeni, $\alpha=90^\circ$ .

Trikampis

a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos\angle A

\frac{a}{\sin\angle A}=\frac{b}{\sin\angle B}=\frac{c}{\sin\angle C}=2R

S=\frac{1}{2}ab\cdot\sin\angle C

S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

S=rp=\frac{abc}{4R}

$a$ , $b$ , $c$ – kraštinės, $\angle A$ , $\angle B$ , $\angle C$ – prieš jas esantys kampai, $p$ – pusperimetris, $r$ – įbrėžto, $R$ – apibrėžto apskritimo spindulys. Kosinusų teorema tinka, kai žinomos dvi kraštinės ir kampas tarp jų, sinusų – kai žinomi du kampai ir kraštinė.

Pavyzdys

Trikampio kraštinės 5, 5 ir 6. Raskite jo plotą ir apibrėžto apskritimo spindulį.

$p=8$ , $S=\sqrt{8\cdot 3\cdot 3\cdot 2}=\sqrt{144}=12$ . Iš $S=\frac{abc}{4R}$ : $R=\frac{5\cdot 5\cdot 6}{4\cdot 12}=3{,}125$ .

Erdvės geometrija

Ritinys

S_{\text{šon. pav.}}=2\pi RH

V=\pi R^2H

$R$ – pagrindo spindulys, $H$ – aukštinė. Šoninis paviršius išklotas yra stačiakampis, kurio kraštinės – pagrindo apskritimo ilgis ir aukštinė.

Pavyzdys

Ritinio $R=3$ , $H=5$ . Raskite šoninio paviršiaus plotą ir tūrį.

$S=2\pi\cdot 3\cdot 5=30\pi$ ; $V=\pi\cdot 9\cdot 5=45\pi$ .

Kūgis

S_{\text{šon. pav.}}=\pi Rl

V=\frac{1}{3}\pi R^2H

$R$ – pagrindo spindulys, $l$ – sudaromoji, $H$ – aukštinė. Jos susijusios Pitagoro teorema: $l^2=R^2+H^2$ .

Pavyzdys

Kūgio $R=3$ , $H=4$ . Raskite šoninio paviršiaus plotą ir tūrį.

$l=\sqrt{9+16}=5$ ; $S=\pi\cdot 3\cdot 5=15\pi$ ; $V=\frac{1}{3}\pi\cdot 9\cdot 4=12\pi$ .

Nupjautinis kūgis

S_{\text{šon. pav.}}=\pi(R+r)l

V=\frac{1}{3}\pi H\left(R^2+Rr+r^2\right)

$R$ ir $r$ – pagrindų spinduliai, $l$ – sudaromoji, $H$ – aukštinė.

Pavyzdys

Nupjautinio kūgio $R=4$ , $r=2$ , $H=3$ . Raskite tūrį.

$V=\frac{1}{3}\pi\cdot 3\cdot(16+8+4)=28\pi$ .

Rutulys

S_{\text{pav.}}=4\pi R^2

V=\frac{4}{3}\pi R^3

$R$ – rutulio spindulys.

Pavyzdys

Rutulio spindulys 3. Raskite paviršiaus plotą ir tūrį.

$S=4\pi\cdot 9=36\pi$ ; $V=\frac{4}{3}\pi\cdot 27=36\pi$ .

Rutulio nuopjova

S_{\text{šon. pav.}}=2\pi RH

V=\frac{1}{3}\pi H^2(3R-H)

$R$ – rutulio spindulys, $H$ – nuopjovos aukštinė.

Pavyzdys

Rutulio spindulys 5, nuopjovos aukštinė 2. Raskite nuopjovos tūrį ir šoninio paviršiaus plotą.

$V=\frac{1}{3}\pi\cdot 4\cdot(15-2)=\frac{52\pi}{3}$ ; $S=2\pi\cdot 5\cdot 2=20\pi$ .

Piramidės tūris

V=\frac{1}{3}SH

$S$ – pagrindo plotas, $H$ – aukštinė. Ta pati formulė tinka bet kokiai piramidei, nesvarbu, koks jos pagrindas.

Pavyzdys

Taisyklingosios keturkampės piramidės pagrindo kraštinė 6, aukštinė 4. Raskite tūrį.

$V=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 4=48$ .

Nupjautinės piramidės tūris

V=\frac{1}{3}H\left(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2\right)

$S_1$ ir $S_2$ – pagrindų plotai, $H$ – aukštinė.

Pavyzdys

Nupjautinės piramidės pagrindų plotai 4 ir 16, aukštinė 3. Raskite tūrį.

$V=\frac{1}{3}\cdot 3\cdot\left(4+\sqrt{64}+16\right)=28$ .

Analizė

Išvestinės

\left(f(x)\cdot g(x)\right)'=f'(x)\cdot g(x)+g'(x)\cdot f(x)

\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)\cdot g(x)-g'(x)\cdot f(x)}{g^2(x)}

\left(f(g(x))\right)'=f'(g(x))\cdot g'(x)

(\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x

(\operatorname{tg}x)'=\frac{1}{\cos^2x}

(a^x)'=a^x\ln a,\qquad (\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}

Sandaugos, dalmens ir sudėtinės funkcijos išvestinės bei pagrindinių funkcijų išvestinės. Laipsninės funkcijos išvestinės $(x^n)'=nx^{n-1}$ ir sumos taisyklės A rinkinyje nėra – jas reikia mokėti mintinai.

Pavyzdys

Raskite funkcijų $x^2\sin x$ ir $\sin(x^2)$ išvestines.

$(x^2\sin x)'=2x\sin x+x^2\cos x$ ; $(\sin(x^2))'=\cos(x^2)\cdot 2x$ .

Liestinės lygtis

y=f'(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0)

Pavyzdys

Parašykite funkcijos $f(x)=x^2$ grafiko liestinės taške $x_0=1$ lygtį.

$f(1)=1$ , $f'(x)=2x$ , $f'(1)=2$ . Liestinė: $y=2(x-1)+1=2x-1$ .

Integralai

\int x^n\,\mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\neq -1)

\int\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln|x|+C

\int a^x\,\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C

\int\sin x\,\mathrm{d}x=-\cos x+C

\int\cos x\,\mathrm{d}x=\sin x+C

\int\frac{1}{\cos^2x}\,\mathrm{d}x=\operatorname{tg}x+C

$C$ – bet kuris realusis skaičius: pirmykštė funkcija randama tik konstantos tikslumu.

Pavyzdys

Raskite $\int\left(3x^2+\cos x\right)\mathrm{d}x$ .

$\int\left(3x^2+\cos x\right)\mathrm{d}x=x^3+\sin x+C$ .

Sukinio tūris

V=\pi\int_a^b f^2(x)\,\mathrm{d}x

Tūris kūno, gauto apie $Ox$ ašį sukant kreivinę trapeciją, kurią riboja funkcijos $y=f(x)$ grafikas ir tiesės $x=a$ , $x=b$ .

Pavyzdys

Raskite tūrį kūno, gauto sukant apie $Ox$ ašį funkcijos $f(x)=\sqrt{x}$ grafiką, kai $0\leq x\leq 4$ .

$V=\pi\int_0^4 x\,\mathrm{d}x=\pi\cdot\frac{4^2}{2}=8\pi$ .

Kombinatorika ir tikimybės

Kombinatorika

C_n^k=C_n^{n-k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}

$C_n^k$ – derinių skaičius (kiek būdų išrinkti $k$ elementų iš $n$ , kai tvarka nesvarbi), $A_n^k$ – gretinių skaičius (kai tvarka svarbi).

Pavyzdys

Kiek būdų iš 5 mokinių išrinkti 2 budėtojus? O seniūną ir jo pavaduotoją?

Budėtojai – tvarka nesvarbi: $C_5^2=\frac{5!}{2!\cdot 3!}=10$ . Seniūnas ir pavaduotojas – svarbi: $A_5^2=\frac{5!}{3!}=20$ .

Atsitiktinis dydis

\mathbf{E}X=x_1p_1+x_2p_2+\dots+x_np_n

\mathbf{D}X=(x_1-\mathbf{E}X)^2p_1+(x_2-\mathbf{E}X)^2p_2+\dots

\dots+(x_n-\mathbf{E}X)^2p_n

$x_1,\dots,x_n$ – atsitiktinio dydžio $X$ reikšmės, $p_1,\dots,p_n$ – jų tikimybės. $\mathbf{E}X$ – matematinė viltis (vidurkis), $\mathbf{D}X$ – dispersija: kiek reikšmės vidutiniškai nutolusios nuo vidurkio.

Pavyzdys

$X$ įgyja reikšmes 0, 1, 2 su tikimybėmis $0{,}25$ , $0{,}5$ , $0{,}25$ . Raskite $\mathbf{E}X$ ir $\mathbf{D}X$ .

$\mathbf{E}X=0\cdot 0{,}25+1\cdot 0{,}5+2\cdot 0{,}25=1$ ; $\mathbf{D}X=1\cdot 0{,}25+0\cdot 0{,}5+1\cdot 0{,}25=0{,}5$ .

Binominiai bandymai

\mathbf{P}_n(k)=\mathbf{P}(X=k)=C_n^kp^kq^{n-k}

$n$ – bandymų skaičius, $k$ – sėkmių skaičius, $p$ – sėkmės tikimybė viename bandyme, $q=1-p$ – nesėkmės tikimybė. Bandymai turi būti nepriklausomi.

Pavyzdys

Moneta metama 4 kartus. Kokia tikimybė, kad herbas atsivers lygiai 2 kartus?

$\mathbf{P}_4(2)=C_4^2\cdot 0{,}5^2\cdot 0{,}5^2=6\cdot\frac{1}{16}=0{,}375$ .

Niutono binomo formulė

(a+b)^n=a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n-2}b^2+\dots

\dots+C_n^ka^{n-k}b^k+\dots+b^n

Koeficientai prie narių – deriniai $C_n^k$ . Bendrasis narys $C_n^ka^{n-k}b^k$ leidžia rasti vieną narį neskleidžiant viso reiškinio.

Pavyzdys

Raskite koeficientą prie $x^2$ reiškinio $(x+2)^5$ išraiškoje.

Reikia nario, kuriame $x^{5-k}=x^2$ , t. y. $k=3$ : $C_5^3\cdot 2^3=10\cdot 8=80$ .

Ko A rinkinyje nėra

Šių formulių A kurso rinkinyje nėra, bet egzamino uždaviniuose jų prireikia – jas reikia mokėti mintinai.

Pagrindinės B rinkinio formulės. Sumos ir skirtumo kvadratas, laipsnių ir šaknų savybės, $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ , $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ , $1+\operatorname{tg}^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}$ , $(x^n)'=nx^{n-1}$ , sudėtiniai procentai ir skritulio išpjova – jų yra B rinkinyje, bet ne A.
Kvadratinė lygtis. $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ , $D=b^2-4ac$ ; Vieto teorema $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ , $x_1x_2=\frac{c}{a}$ .
Pitagoro teorema. Stačiajame trikampyje $c^2=a^2+b^2$ , kur $c$ – įžambinė.
Stačiojo trikampio smailiojo kampo santykiai. $\sin\alpha$ – priešinio statinio ir įžambinės santykis, $\cos\alpha$ – prie kampo esančio statinio ir įžambinės, $\operatorname{tg}\alpha$ – priešinio ir prie kampo esančio statinio.
Apskritimo ilgis ir skritulio plotas. $C=2\pi R$ , $S=\pi R^2$ .
Keturkampių plotai. Stačiakampio $S=ab$ , lygiagretainio $S=ah_a$ , rombo $S=\frac{d_1d_2}{2}$ , trapecijos $S=\frac{a+b}{2}\cdot h$ .
Prizmės tūris. $V=SH$ , kur $S$ – pagrindo plotas, $H$ – aukštinė.

Kuo skiriasi A ir B rinkiniai

B rinkinyje yra ir pagrindinės formulės: greitoji daugyba, laipsnių, šaknų ir logaritmų savybės, pagrindinė trigonometrinė tapatybė, sudėtiniai procentai, skritulio išpjova. A rinkinys jų nekartoja – jis skirtas sudėtingesnėms temoms: sumos ir dvigubo kampo trigonometrinėms formulėms, vektoriams, nupjautiniams kūnams, išvestinių taisyklėms, integralams, kombinatorikai ir tikimybėms. Todėl A kurso mokiniui pagrindines formules reikia mokėti mintinai. Trigonometrinių lygčių sprendiniai B rinkinyje rašomi laipsniais, A – radianais.

Kursas svarbus ir stojant: B kurso matematikos įvertinimas konkursiniame bale dauginamas iš 0,7. Kiek tai keičia jūsų balą, parodys konkursinio balo skaičiuoklė.

Kaip naudotis formulynu per VBE

Formulynas – tai tas pats NŠA formulių rinkinys, kuris yra egzamino užduočių aprašo priedas. Pagal aprašą per elektroninę I dalį (120 min.) galima naudotis kompiuteriu, lapu užrašams, skaičiuotuvu ir formulių rinkiniu, per II dalį (240 min.) – skaičiuotuvu ir formulių rinkiniu. Kokį skaičiuotuvą galima naudoti, nurodo egzamino vykdymo instrukcijos.

Formulynas padeda tik tam, kas jį gerai pažįsta. Spręskite namų darbus ir bandomuosius egzaminus su atspausdintu savo kurso rinkiniu visus metus: egzamino dieną nereikės ieškoti, kur kokia formulė. Tačiau rinkinys nepasako, kurią formulę taikyti: tai reikia atpažinti iš uždavinio.

Pavyzdys. Trikampio kraštinės $a=5$ , $b=8$ ir $c=7$ . Raskite kampą $C$ prieš kraštinę $c$ . Žinomos trys kraštinės, ieškomas kampas – tinka kosinusų teorema, ji yra abiejų kursų rinkinyje, skyrelyje „Trikampis“: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ . Įrašome: $49=25+64-80\cos C$ , todėl $\cos C=\frac{1}{2}$ ir $C=60^\circ$ .

Formulių, kurių formulyne nėra (kvadratinės lygties sprendinių, Pitagoro teoremos, keturkampių plotų ir kitų), reikia mokėti mintinai. Jų sąrašas yra kiekvieno kurso pabaigoje: B kursas, A kursas.

Šaltinis ir metai

Formulės pateiktos taip, kaip jas skelbia NŠA rinkiniuose „Matematikos (B) valstybinio brandos egzamino formulių rinkinys“ ir „Matematikos (A) valstybinio brandos egzamino formulių rinkinys“ (paskelbti 2026 m. birželio 3 d.). Tie patys rinkiniai yra NŠA „Matematikos, gamtos mokslų dalykų, informatikos ir inžinerinių technologijų valstybinių brandos egzaminų užduočių aprašas“ 1 priedas (2026 m. sausio 7 d. įsakymo Nr. VK-9 redakcija). Paaiškinimai ir pavyzdžiai – Mokli.

Matematikos programa pakoreguota 2026 m. rugpjūčio 26 d., todėl ateinančių metų rinkiniai gali skirtis. Jei NŠA rinkinius pakeis (paskutinį kartą tikrinta 2026 m. spalio 23 d.), galioja NŠA dokumentai, o ne šis puslapis.

D.U.K.

Liko klausimų?

Neradote atsakymo? Parašykite – atsakome tą pačią darbo dieną.

info@mokli.lt

Ar per matematikos VBE galima naudotis formulynu?

Taip. Per abi VBE dalis galima naudotis NŠA formulių rinkiniu (formulynu) ir skaičiuotuvu, o per elektroninę I dalį – dar ir lapu užrašams. Rinkinys yra NŠA patvirtinto egzamino užduočių aprašo priedas, todėl savo formulyno atsinešti nereikia. Kokį skaičiuotuvą galima naudoti, nurodo egzamino vykdymo instrukcijos.

Kuo skiriasi A ir B kurso formulynas?

B formulyne yra ir pagrindinės formulės: greitoji daugyba, laipsnių ir šaknų savybės, pagrindinė trigonometrinė tapatybė, sudėtiniai procentai, skritulio išpjova. A formulynas jų nekartoja, bet turi sudėtingesnių temų formules: sumos ir dvigubo kampo trigonometriją, vektorius, nupjautinius kūnus, išvestinių taisykles, integralus, kombinatoriką ir tikimybes. Ruoškitės su savo kurso formulynu.

Ar VBE formulyne yra kvadratinės lygties sprendinių formulė?

Ne – nei A, nei B rinkinyje jos nėra, kaip ir Pitagoro teoremos, apskritimo ilgio, skritulio ar keturkampių plotų formulių. Jas reikia mokėti mintinai. Visą sąrašą rasite kiekvieno kurso skiltyje „Ko rinkinyje nėra“.

Kur atsisiųsti oficialų VBE formulyną?

Abu rinkinius PDF formatu skelbia Nacionalinė švietimo agentūra (NŠA). Šiame puslapyje formulės tos pačios, tik sugrupuotos pagal temas, su paaiškinimais ir išspręstais pavyzdžiais. Spręsdami namų darbus naudokite atspausdintą NŠA rinkinį – egzamine bus būtent jis. Plačiau: B kurso rinkinys (NŠA), A kurso rinkinys (NŠA).

Ar 2027 m. VBE formulynas bus toks pat?

Nebūtinai. 2026 m. rugpjūčio 26 d. matematikos programa pakoreguota (pavyzdžiui, B kurse nebeliko tangento temų), todėl NŠA rinkinius gali atnaujinti. Puslapį sutikriname su naujausiais NŠA rinkiniais – paskutinį kartą 2026 m. spalio 23 d..